সঞ্চারপথ কাকে বলে? সঞ্চারপথের সমীকরণ

কোনো সমতলে এক বা একাধিক শর্তাধীনে চলমান কোনো বিন্দু যে সরল বা বক্ররেখায় সঞ্চরণ করে সেটিই প্রদত্ত শর্তাধীনে ঐ বিন্দুর সঞ্চারপথ। এটি সরলরেখা বা বক্ররেখা হতে পারে।

সঞ্চারপথ কাকে বলে

সমতলস্থ যেসব বিন্দু এক বা একাধিক প্রদত্ত শর্ত পূরণ করে, তাদের সেটকে সঞ্চারপথ বলে। প্রদত্ত শর্ত বা শর্তসমূহের সত্যতা অনুসারে সঞ্চার পথটি সরলরেখা বা বক্ররেখা হতে পারে। যেমন, সমতলস্থ একটি বিন্দু হতে সমদূরবর্তী বিন্দুসমূহের সেট যে সঞ্চার পথ সৃষ্টি করে তাকে বৃত্ত বলে।

সঞ্চারপথের সমীকরণ

প্রদত্ত শর্ত বা শর্তসমূহ হতে সঞ্চারপথ নির্দেশক সেটের যেকোনো বিন্দুর ভুজ এবং কোটির মধ্যে যে বীজগণিতীয় সম্পর্ক পাওয়া যায় তাকে সঞ্চার পথের সমীকরণ বলে। সঞ্চার পথের যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক তার সমীকরণকে সিদ্ধ করে; বিপরীতক্রমে, কোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক যদি কোনো সঞ্চার পথের সমীকরণকে সিদ্ধ করে তবে উক্ত বিন্দুটি অবশ্যই সেই সঞ্চারপথের উপর অবস্থিত হবে।

উদাহরণস্বরূপ, একটি বৃত্তের সঞ্চারপথের যেকোনো বিন্দু (4, 3) তার সমীকরণ x2 + y2 = 25 কে সিদ্ধ করবে; বিপরীতক্রমে, কোনো বিন্দু (0, 5) বৃত্তের সঞ্চার পথের সমীকরণ x2 + y2 = 25 কে সিদ্ধ করে তবে উক্ত বিন্দু অবশ্যই বৃত্তের সঞ্চার পথের উপর অবস্থিত হবে।

গাণিতিক সমস্যা: A(a, 0 ) এবং B(0, a ) বিন্দু দুইটি হতে একটি সেটের যেকোনো বিন্দুর দূরত্বের বর্গের অন্তর 2a এর সমান হলে সঞ্চার পথটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

সমাধান: মনে করি, P(x, y) বিন্দুটি সঞ্চার পথের উপর যেকোনো একটি বিন্দু।

`∴ PA = \sqrt{(x–a)^2 + (y-0)^2}`

`⇒ PA^2 = x^2 – 2ax+a^2+y^2`

`PB = \sqrt{(x–0)^2 + (y-a)^2}`

`⇒ PB^2 = x^2 – 2ay+a^2+y^2`

প্রশ্নমতে, `PA^2-PB^2 = |2a| = \pm 2a`

`⇒ x^2-2ax + a^2 + y^2-(x^2+y^2-2ay + a^2)= \pm 2a`

`⇒x^2-2ax + a^2+y^2-x^2-y^2+2ay-a^2 = \pm 2a`

`⇒2a(y-x) = \pm 2a`

`∴ y = x \pm 1`, ইহাই নির্ণেয় সঞ্চার পথের সমীকরণ।